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Rationale Zahlen
Universität / Fachhochschule
Tags: Zahlentheorie
 
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anonymous 18:33 Uhr, 26.04.2004  |
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Ich brauche hilfe bei dieser Aufgabe , hoffe jemand kan mir helfen ... Eine rationale Zahl wurde de niert als äquivalenzklasse von Brüchen. Zeigen Sie, dass Addition und Multiplikation von rationalen Zahlen wohldefiniert sind (also unabhängig von der Wahl der Reprsentanten). |
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anonymous 21:54 Uhr, 26.04.2004 |
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Mir scheint, als sei Dir nicht ganz klar, was Du genau zeigen sollst, denn sonst haettest Du wahrscheinlich nicht fragen muessen. Deshalb lass mich ein wenig darueber reden, falls das nicht hilft, dann frag mal nach. Die Definition der rationalen Zahlen als Aequivalenzklassen duerftest Du so aehnlich gesehen haben: Wir betrachten die Menge der Elemente (a,b), wobei a und b ganze Zahlen (b!=0) sind und in der Klammer die Reihenfolge wesentlich ist (Zwei-Tupel). Die uns bekanntere Schreibweise wird dann spaeter (a,b)=a/b sein. Diese Menge ist allerdings zu gross, als dass wir sie mit der Menge der Brueche identifizieren koennen, da wir wissen, dass z.B. 4/8=1/2 ist. Deshalb fuehren wir eine Aequivalenzrelation ein: (a,b)~(c,d) genau dann, wenn a*d=b*c. Das entspricht natuerlich dem bekannten a/b=c/d genau dann, wenn a*d=b*c, sieht nur irgendwie verdreht aus. Das alles ist aber noetig, wenn man die rationalen Zahlen mit Hilfe der ganzen Zahlen definieren will (und spaeter sieht man auch, dass dieses der richtige Weg ist, um aus einem speziellen Ring einen Koerper zu basteln, aber das kommt erst in der abstrakteren Algebra). Jetzt koennten wir noch zeigen, dass ~ wirklich eine Aequivalenzrelation ist (reflexiv, symmetrisch und transitiv), was ich hier aber weglasse. Die rationalen Zahlen werden dann definiert als die Aequivalenzklassen dieser Relation auf den Zwei-Tupeln (wie Du ja weisst), und wenn wir sagen “die rationale Zahl (a,b)” meinen wir eigentlich die ganze Klasse, fuer die (a,b) als Repraesentant steht. D.h. genauso gut haetten wir auch (2a,2b) waehlen koennen und ueber dasselbe Objekt gesprochen. So. Nun aber zum Rechnen mit den neuen Zahlen. Hier tut sich ein allgemeines Problem mit Aequivalenzklassen auf: Im Grunde genommen hat man die Klasse nicht wirklich in einem Griff, sondern muss zur Definition von Operationen doch immer wieder auf die dahinerliegende Menge zurueckgreifen, in diesem Fall also auf die Menge der Zwei-Tupel (a,b). So wird die Multiplikation der rationalen Zahlen (a,b) und (c,d) definiert als: (a,b)*(c,d)=(a*c,b*d) Und hier entsteht das Problem der Wohldefiniertheit: (a,b) meinte ja eigentlich nicht das Zwei-Tupel (a,b) sondern die Aequivalenzklasse, in der (a,b) vorkommt (siehe oben), also auch (2a,2b) usw. Ebenso haetten wir anstelle von (c,d) auch jedes andere Element aus der Aequivalenzklasse auswaehlen koennen. Wenn es nun passiert, dass das oben definierte Produkt (a*c,b*d) (das ebenfalls nur ein Repraesentant aus einer ganzen Klasse ist) von der speziellen Wahl von (a,b) abhaengt, dann ist dieses Produkt keine Operation, die auf den Aequivalenzklassen definiert werden kann. Bzw. andersherum: Um zu zeigen, dass dieses Produkt wirklich ein Produkt von Aequivalenzklassen ist, musst Du pruefen, ob Du in derselben Klasse landest, wenn Du statt (a,b) ein zu (a,b) aequivalentes Elemente benutzt und ebenso statt (c,d) ein zu ihm aequivalentes. Kompakt geschrieben: Zeige: Ist (a,b) ~ (a’,b’) und (c,d) ~ (c’,d’) dann folgt (a,b)*(c,d) ~ (a’,b’)*(c’,d’) Fuer die Multipikation zeigt man das so: (a,b) ~ (a’,b’) heisst a*b’=b*a’ (c,d) ~ (c’,d’) heisst c*d’=d*c’ multiplizieren wir die beiden zusammen, sortieren ein wenig um und setzen Klammern, so haben wir (a*c)*(b’*d’) = (b*d)*(a’*c’) , was bedeutet, dass (a*c, b*d)~(a’*c’, b’*d’) qed. Ich hoffe, dass Dir das so weit hilft, die Addition zeigt man genauso, nur dass die Definition derselben bekanntermassen ein paar mehr Terme hat. Viel Erfolg, Ben. |
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anonymous 17:30 Uhr, 27.04.2004 |
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Usp, noch eine wichtige Anmerkung: eines habe ich naemlich vergessen, was auch noch zu zeigen ist: Naemlich, dass die Operation auch noch in dem Sinne wohldefiniert ist, dass sie auch tatsaechich zu einem Element in der Menge fuehrt, d.h. dass (a,b)*(c,d)=(a*c, b*d) immernoch in der Menge der Zwei-Tupel (mit zweitem Element ungleich 0) liegt. Das folgt naemlich nicht (!) unmittelbar aus dem Bewiesenen. Dazu stell Dir mal ein Produkt folgendermassen definiert vor: (a, b)*(c,d) := (a*d, b*c) also mit vertauschten c und d. Auch dieses Produkt erfuellt die Bedingung Ist (a,b) ~ (a’,b’) und (c,d) ~ (c’,d’) dann folgt (a,b)*(c,d) ~ (a’,b’)*(c’,d’) ABER: Wenn man ein Element (a, b) mit dem Element (0, d) multipliziert, so erhaelt man nach der Definition (a, b)*(0, d) = (a*d, b*0) = (a*d, 0) Solch ein Element gibt es aber in der Menge der rationalen Zahlen nicht (es repraesentiert keine Aequivalenzklasse)! Somit ist dieses Produkt auch nicht wohldefiniert. Dass solches bei der urspruenglichen Definition nicht passieren kann, sieht man leicht, es muss aber dennoch erwaehnt werden. Es gibt natuerlich weitaus kompliziertere Definitionen, in denen das Zeigen der Wohldefiniertheit mitunter extrem schwierig wird. Bei solchen Aufgaben versteht man jedoch erst wirklich, dass dieses ganze Gehabe wichtig und auch interessant ist, was zugegebener Massen bei den rationalen Zahlen noch nicht ganz einleuchtet… Gruss, Ben. |
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anonymous 10:27 Uhr, 28.04.2004 |
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| Ich versuche das gerade nach zu vollziehen aber aber große schwierigkeiten den ich war ne woche krank und habe leider noch nicht den stoff naholen können muss das aber zu morgen schon lösen deshalb bin ich einwenig hilflos ..:( | |
anonymous 11:40 Uhr, 28.04.2004 |
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Ich habe es einfach mal nach dem Schema probiert für die addition zu Zeigen ist : Ist (a,b) ~ (a’,b’) und (c,d) ~ (c’,d’) dann folgt (a,b)+(c,d) ~ (a’,b’)+(c’,d’) Fuer die Addition zeigt man das dann so: (a,b) ~ (a’,b’) heisst a+b’=b+a’ (c,d) ~ (c’,d’) heisst c+d’=d+c’ jetzt weiß ich nicht genau wie ich es zeigen soll diesen schritt verstehe ich auch nicht so genau bei der multiplikation |
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anonymous 17:55 Uhr, 28.04.2004 |
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(Konnte mich leider nicht frueher melden…) Du musst hier zwei Dinge zunächst einmal streng auseinanderhalten: Die Aequivalenzrelation und die Operationen. Die Aequivalenzrelation heißt hier IMMER: (a,b)~(c,d) genau dann, wenn a*d = b*c Sie legt die Aequivalenzklassen fest, das heisst sie gruppiert alle Elemente, die wir als "aequivalent" d.h. "gleich(wertig)" ansehen wollen zu einem Element zusammen: 1/2=2/4=3/6=345/690 usw. Alle diese scheinbar verschiedenen Elemente sind in den rationalen Zahlen EIN Element. Das ist es, wofuer wir die Aequivalenzrelation brauchen: Eine rationale Zahl IST eine Aequivalenzkasse und wir im konkreten Fall durch eines ihrer Repraesentanten dargestellt: 1/3 bzw. (1,3) stellt dieselbe Aequivalenzklasse (dieselbe rationale Zahl) dar wie 2/6 bzw. (2,6) usw. Lass mich vielleicht der Deutlichkeit halber im Folgenden eckige Klammern verwenden, wenn ich die gesamte Aequivalenzklasse meine, und runde Klammern, wenn ich nur das exakte Element verwenden moechte, also: [1,3] ist die Aquivalenzklasse, die durch das Element (1,3) repraesentiert wird. Somit haben wir auch [1,3]=[2,6]=[9,27], aber (1,3)!=(2,6)!=(9,27), denn dieses sind ja Zwei-Tupel, die alle verschieden sind (Verstanden?). (Falls Du hiermit Schwierigkeiten hast, muesstest Du Dir wirklich nochmal die Idee der Aequivalenzklassen anschauen … oder nachfragen. Das sind sehr schoene Konstruktionen, und kommen deshalb auch huebsch haeufig vor – es lohnt sich also, sie zu verstehen!) Nun kommen wir zu den Operationen: Wir wollen gerne rationale Zahlen Addieren und Multiplizieren. Dazu muessen wir definieren, wie z.B. die Addition von Aequivalenzklassen aussehen soll: [a,b]+[c,d]=[?,?] Hier kommt nun das Problem, das ich in meiner ersten Antwort versucht habe zu schildern: Wir “kennen” die Aequivalenzklassen nicht wirklich sondern nur ihre Elemente, und koennen von daher auch nur mit ihnen rechnen: Wenn wir sagen, dass 1/2+1/3=5/6, also [1,2]+[1,3]=[5,6], Dann muss bei dieser Rechnung dasselbe herauskommen, wie bei [2,4]+[3,9], denn [1,2]=[2,4] und [1,3]=[3,9] (bzw. in alter Notation: (1,2)~(2,4) und (1,3)~(3,9).) Dasselbe gilt fuer die Multiplikation: Sie muss so definiert sein, dass sie UNABHAENGIG von der speziellen Wahl der Repraesentanten ist. Und genau das muss hier gezeigt werden! Hier also erstmal die Definitionen der Addition und Mutiplikation: [a,b]+[c,d]:=[ad+bc, bd] [a,b]*[c,d]:=[ac, bd] (Der Uebersicht halber werde ich nicht immer den Multiplikationspunkt * fuer die Standard-Multiplikation von Zahlen setzen) Und nocheinmal: In dieser Definition werden explizit a,b und c,d verwandt, d.h. die Definition der Addition und der Multiplikation basiert auf dem Rechnen mit den Repraesentanten. Zu zeigen ist, dass diese Definition trotzdem unabhaengig von dem tatsaechlich gewaehltem Repraesentant ist (Zu Beginn meines Studiums fand ich diesen Gedankengang immer etwas widerspruechlich, aber wenn Du ihn Dir genau anschaust, dann ist er es nicht, und wie so vieles in der Mathematik, ist dieses etwas, an das man sich durch Uebung wunderbar gewoehnen kann). Vielleicht mal kurz das Beispiel von oben: [1,2]+[1,3] ist nach Definition nun [1*3+2*1, 2*3] = [5, 6]. Und es gilt [2,4]+[3,9] ist nach Definition [2*9+4*3, 4*9] = [30, 36] Das Ergebnis sieht zunaechst verschieden aus. Aber wir haben “Glueck”, denn [5,6] = [30, 36] (gleiche Aequivalenzklassen), denn (5,6) ~ (30,36) (aequivalente Zwei-Tupel), denn 5*36 = 6*30 (Definition der Aequivalenz). Fuer dieses Beispiel ist die Definition der Addition vernuenftig. Natuerlich muessen wir das jetzt allgemein zeigen: Ist [a,b]=[a’,b’] und [c,d]=[c’,d’] dann muss [a,b]+[c,d]=[a’,b’]+[c’,d’] gelten (sonst ist die Definition nicht unabhaenig von der Wahl der Repraesentanten. Dazu schreiben wir mal hin, was wir haben: [a,b]+[c,d] = [ad+bc, bd] nach Definition und [a’,b’]+[c’,d’] = [a’d’+b’c’, b’d’] auch nach Definition. Zu zeigen ist also: [ad+bc, bd] = [a’d’+b’c’, b’d’] unter der Voraussetzung, dass [a,b]=[a’,b’] und [c,d]=[c’,d’]. Die Voraussetzung besagt aber, dass (a,b)~(a’,b’), also nach Definition der Aequivalenzrelation ab’=ba’ Ebenso gilt (c,d)~(c’,d’), also cd’ = dc’. Diese beiden Gleichungen muessen nun geschickt kombiniert werden, um zu zeigen, dass (ad+bc, bd) ~ (a’d’+b’c’, b’d’), also dass (ad+bc)*b’d’ = bd*(a’d’+b’c’) (wieder nur Definition der Aequivalenz) Diese Gleichung kannst Du aber (leicht) aus den obigen beiden Gleichungen folgen. Die Multiplikation habe ich das letzte mal schon erlaeutert, und ich hoffe, dass es somit mehr verstaendlich geworden ist ;-) Das sollte erst mal genuegen… Liebe Gruesse, Ben. |
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anonymous 21:01 Uhr, 28.04.2004 |
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| Dank dir viel mals für die hilfe :) |
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